2023年全国普通高等学校招生统一考试(国卷B)
文科数学
一、选择题
2 i2 2i3
1. ( )
A.1 B.2 C.D.5
5
【答案】C
【分析】
【分析】根据题意,先化简2+i2+2i3,然后计算其模。
【详细解释】从题意可以得到2 + i2 + 2i3=2 – 1 – 2i=1 – 2i ,
则 2 i2 2i3 1 2i .
12 22
5
故选:C.
假设全集U=0,1, 2, 4, 6,8,集合M=0, 4, 6,N=0,1, 6,则M U N ( )
0, 2, 4, 6,8
0,1, 4, 6,8
1, 2, 4, 6,8
U【答案】A
【分析】
【分析】根据题意可以得到U N 的值,然后可以计算出M U N 。
【详细解释】从题意可知U N 2, 4,8 ,则M U N 0, 2, 4, 6,8 。
因此选择:A.
如图所示,网格纸上画的是一个零件的三视图。网格上小正方形的边长为1,则该部分的表面积( )
A.24 B.26 C.28 D.30
【答案】D
【分析】
【分析】根据题意,首先从三视图还原空间几何,然后根据得到的空间几何的结构特征计算其表面积。
【详细说明】如图所示,长方体ABCD – A1B1C1D1,AB=BC=2,AA1=3,
H、I、J、K 点是靠近B1、C1、D1、A1 点的边上的三等分点。 O、L、M 和N 是边的中点。
那么三视图对应的几何体就是长方体ABCD A1B1C1D1。去掉长方体ONIC1 LMHB1后得到的几何形状,
这个几何体的表面积比原长方体的表面积小2。边长为1 的正方形,其表面积为: 2 2 2 4 2 3 2 11 30。
故选:D。
在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c。如果acosB bcosA=c 且C= ,则B=( )
5
A.B.
10 5
3 2
光盘。
10 5
【答】C
【分析】
【分析】首先利用正弦定理对角进行棱边,然后结合归纳公式和两角和的正弦公式求出A的值,最后利用三角形内角和定理得到A.
【详细解释】结合题意和正弦定理,可以得到sin Acos B sin B cos A sin C,即sin Acos B sin B cos A sin A B sin Acos B + sin B cos A,组织起来我们可以得到sin B cos A=0 ,因为B 0, ,所以sin B=0 ,
由此可得cos A=0, A= ,
2
则B= – A – C= – – =3 。
2 5 10
因此选择:C。
已知f (x)=xex
eax-1
是偶函数,则a=( )
2
– 1C。 1 D.2
【答案】D
【分析】
【分析】根据偶函数的定义求解。
xx
xx
x e x
x ex ea1x
【详细解释】因为f x ax
是偶函数,则f x f x
0 ,
e 1
eax-1 e-ax-1 eax-1
又因为x 并不总是0,所以我们可以得到ex ea1x=0 ,即ex ea1x ,则x a 1 x ,即1=a – 1 ,求解a=2 。
故选:D。
正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则EC ED=( ) B.3 C.2
5
5
D.5
【答案】B
【分析】
【分析】方法一:用AB、AD为基向量表示EC、ED,然后结合量积的算术运算来求解;方法二:建立系统,利用平面向量的坐标运算来解决问题;方法三:利用余弦定理求cosDEC,然后根据量积的定义求解。
u ur uuur u ur uuur
【详解】方法一:以AB, AD为基向量,可知AB=AD=2, AB AD=0 ,
uuur uur uuur
则EC=EB + BC=
1 u ur uuur uuur uur uuur
AB + AD, ED=EA + AD=-
1 u ur uuur
AB + AD ,
2 2
uuur uuur 1 u ur uuur 1 u ur uuur 1 u ur2
乌乌乌尔2
所以EC ED AB + AD AB + AD AB
2 2 4
+ 广告
1 4 3 ;
方法二:如图所示,建立以A为坐标原点的平面直角坐标系。
则E 1, 0,C 2, 2 , D 0, 2 , 可得EC 1, 2, ED 1, 2 ,
所以ECED=1+4=3;
方法三:由题意可得:ED=EC=
5、CD=2、
DE 2 + CE 2 – DC 2 5+ 5 – 4 3
在CDE 中,cos DEC 由余弦定理可得,
255
uuur uuur uuur uuur
所以EC ED EC ED cosDEC
故选:B.
2DECE 5
5 5 3 3 .
5
设O为平面坐标系的坐标原点。在区域 x, y 1 中随机选取一点A 的概率为( )
1 1
A.B.
4
1 D.14 2
【答案】C
【分析】
【分析】根据题意分析面积的几何意义,结合几何一般运算进行求解。
【详细说明】因为面积 x, y |1 x2 + y2 4 表示圆心O<0, 0,外圆半径R=2 ,内圆半径r=1 的圆,则直线OA 倾斜角度不大于 的部分用阴影表示,第一象限部分对应的圆心角为MON= ,
8 6
2
组合对称性给出所需的概率P=4=1 。
4 4
因此选择:C。
函数f x =x3 ax + 2 有3 个零点,则a 的取值范围为( ) A。、2
B.、3
C. 4, 1
D.3, 0
【答案】B
【分析】
【分析】写出f (x)=3×2 + a ,求极值点,可转化为大于0的最大值和小于0的最小值。
【详细解释】f(x)=x3+ax+2,则f(x)=3×2+a,
如果f x 必须有3 个零点,则f x 必须有最大值和最小值,则a0,
设f (x)=3×2 + a=0 ,解为x=- 或,
3a3
2 4
a3 且当x , , , f (x) 0 , 3
当x
a ,
a
-a
3
, f (x)<0 ,
因此,f x 的最大值为f
a
3
,最小值为f,
a
3
3
-a
3
a
3
a
3
3
如果f x 必须有3 个零点,则
a
3
一个
,即
a
3
a
f 0 a
,解为3,
2 0
一个
f 0
2 0
故选:B.
a
3
某学校举办作文比赛,共有6个主题。每位参赛学生随机选择一个主题来准备作文。那么学生A 和学生B 画出不同主题的概率为( )
3
6
【答案】A
【分析】
23
1 D.12 3
【分析】根据经典的概率模型,找到所有的情况以及满足问题的情况,就可以得到概率。
【详细说明】A有6个选择,B也有6个选择,所以总数为6 6=36。如果A和B画不同的主题,则总共有A2 30个。
6
那么它的概率是30=5 ,
5
因此选择:A。
已知函数f (x)=sin(x +) 在区间 , 2 内单调递增,直线x= 和x=2 是函数y=f 的图像x
36 6
的两个对称轴,则f 5 =( )
6 3 6 3
A.-B.-1
3
22
C.1
2
D.3
12
【答】D
【分析】
【分析】根据题意找出它的周期,然后根据它的最小值找出初始相位。代入x=- 5 即可得到答案。
2
【详细解释】因为f (x)=sin(x +) 在区间 , 2 内单调递增,
12
所以T=2 – = 和 0 ,则T= , w=2=2 ,
6 3
当x= 时,f x 取最小值,则2 2k , k Z ,
2 3 6 2 T
那么 2k 5 , k Z ,我们不妨取k=0 ,那么f x sin 2x 5 ,
6 6 2
6 6
1232
故选:D。
已知实数x、y满足x2 + y2 4x 2y 4=0 ,则x y的最大值为( ) 1+ B. 4 C. 1 + 3
3 2
2
2
D.7
【答案】C
【分析】
【分析】方法一:令xy=k,用判别法即可;方法二:得到 方法三:整理圆的方程,假设xy=k,使圆心到直线的距离小于或等于半径。
【详细解释】方法一:令x y=k ,则x=k + y ,
代入原公式并化简得2 y2 + 2k 6 y + k 2 4k 4=0 ,
因为有实数y,则 0,即2k 62 4 2 k 2 4k 4 0 ,
化简得k 2 2k 17 0 ,求解得1 3 k 1 3 2 ,
2
因此x y
的最大值为3
+1,
方法二:x2 + y2 4x 2y 4 0 ,整理为 x 22 y 12 9 ,设0, 2,
2
然后,
则 f 5 sin 5 3 ,
0, 2,故 , 9 ,则 =2 ,即 7时,x y 取最大值3
2
+1,
4
方法三:由x2 + y2 4x 2y 4=0,可得(x 2)2 + ( y 1)2=9 ,
假设x – y=k ,则圆心到直线x – y=k 的距离为d==3 ,
| 2-1-k|
2
求解得到13 k 1+ 3
2
2
故选:C.
2y2
设A、B为双曲线x=1上的两点,下列四点中,能作为线段AB中点的是( ) 9
1,1(-1, 2)1, 31, 4【答案】D
【分析】
【分析】根据点差法,可得kABk=9。对于A、B、D:通过联立方程确定交点个数,并逐项分析判断; C:根据双曲线的渐近线分析确定。
【详细说明】假设Ax,y,Bx,y
,则AB 的中点M x1 + x2 , y1 + y2 ,
1 1 2 2
4 4 4 4 4
可用k
y1 + y2
=y1 – y2 ,k=2=y1 + y2 ,
AB x – x
x + x
x + x
1 2 1 2 1 2
2 2
2 y2
x1 – 1=1
因为A 和B 在双曲线上,所以 9,两个方程相减得到 x2 x2 y1 y2
22
=0 ,
2
2年
2
1 2 9
y2 – y2
所以kAB k=1 2
x2 x2
1 2
x 2 1
=9.
对于选项A:我们可以得到k=1, k AB=9 ,则AB : y=9x – 8 ,
y=9x – 8
联立方程组
y2, 取消y 得到2 72x + 73=0 ,
2 9
72x 2
x2 1
此时 2NX 722 4 72 73 288 0 ,故直线AB与双曲线没有交点,故A错误;
对于选项B:我们得到k=-2, k=- 9 ,然后AB : y=- 9 x – 5 ,
AB 2 2 2
y=9 x 5
联立方程
2
2 2 ,消去y 得到45×2 + 2 45x + 61=0 ,
y2
x
9
9
此时 2NX 452 4 45 61 4 4516<0 ,故直线AB与双曲线无交点,故B错误;
对于选项C:我们得到k=3, k AB=3 ,然后AB : y=3x
由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB : y=3x为双曲线的渐近线,故直线AB与双曲线无交点,故C错误;
对于选项D: k=4,k=9 ,则AB : y=9 x – 7 ,
AB 4 4 4
y=9 x – 7
联立方程
2
4 4 , 消去y 得到63×2 +126x 193=0 ,
y2
x
1
9
此时=1262 + 4NX 63193=0 ,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确;因此,选择:D。
1
已知点A1, 5 在抛物线C: y2=2 px 上,则A 到C 准线的距离为。
二、填空题
【解答】
9
【分析】
【解析】从题意来看,首先求出抛物线的标准方程,然后利用抛物线方程得到抛物线的准线方程为x=- 5,最后用
4
只需使用该点的坐标和准线方程即可计算出A 点到C 点的准线距离。
【详细解释】从题意可知: 5 2 2 p 1 ,则2 p 5 ,抛物线的方程为y 2 5 x ,
准线的方程为x=-5,A点到C点的准线距离为15=9。
4
4 4 4
所以答案是:
9
如果 0, ,tan 1,则sin cos 。
4
【答案】-5
2 2
【分析】
【分析】根据同角三角关系求sinq,即可得到结果。
【详细解释】因为,则sin0,cos0,
5
2
因为tan sin=1,则cos 2 sin,
余弦2
而cos2+ sin2=4sin2+ sin2=5sin2 1,解为sin
5 或罪
0,
5(四舍五入),
5
所以sinq cosq sinq 2sinq sinq – 5 。
5
所以答案是: – 5。
5
x 3y 1
若x、y满足约束条件 x + 2 y 9,则z=2x – y的最大值为.
3x y 7
【答案】8
【分析】
【分析】制作一个可行区域,并将其转化为截距最大值进行讨论。
【详细说明】创建可行区域如下图所示:
z=2x y ,平移项得到y=2x z ,
x 3y 1
合起来我们有x + 2 y=9
x=5
,解为 y=2 ,
假设A5, 2。显然,将直线y=2x平移,使其通过A点,此时截距-z最小,z最大。代入它,我们得到z=8,
所以答案是:8。
已知点S、A、B、C都在半径为2的球面上,ABC是边长为3的等边三角形,SA平面ABC,则SA=。
【答案】2
【分析】
【分析】首先利用正弦定理求出底面外接圆的半径,然后结合直棱柱的外接球面和计算出的性质来求解问题。
【详细说明】设ABC的外接圆圆心为O1,半径为r,
2r=
但
AB=
罪恶ACB
3=2
3
3
2
,我们可以得到r=,
假设三棱锥S ABC 外接球的圆心为O,连接OA 和OO,则OA=2,OO=1 SA,
3
1 1 2
由于OA2=OO2 + O A2 ,即4=3 + 1 SA2 ,所以解为SA=2 。
1 1 4
所以答案是:2。
【寻找点】方法终结点:多面体与球体相切及连接问题的求解方法
当涉及球体与棱柱或棱锥体的切线和连接问题时,通常通过球心和多面体的特殊点(通常是连接点或切点)或直线进行剖面,并通过空间将问题转化为平面问题来求解;如果球面上有四个点P,A、B、C组成的三条线段PA、PB、PC互相垂直,则PA=a,PB=b,PC=c。一般来说,相关元素被“补充”成球形内接长方体。根据4R2=求解a2+b2+c2;立方体内切球的直径就是立方体的边长;当球与立方体的边相切时,球的直径为立方体对角线的长度;运用平面几何知识找出几何中各元素之间的关系,或仅画出内切几何和外接几何的可视化图,确定球心的位置,阐明球的半径(直径)与球的半径(直径)之间的关系几何的已知量,并求解方程(组)。
5
为了比较A、B两种工艺对橡胶制品弹性的处理效果,某工厂进行了10次配对试验。每次配对试验,选取两种材质相同的橡胶制品,随机选择其中一件采用工艺A处理,另一件采用工艺B处理,测量处理后的橡胶制品的弹性率。经A、B工序处理的橡胶制品的拉伸比分别记为xi、yii=1、2、、10。测试结果如下:测试编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
缩放比xi
第545章
第533章
第551章
第522章
第575章
第544章
第541章
第568章
第596章
第548章
拉伸比yi
第536章
第527章
第543章
第530章
第560章
第533章
第522章
550
第576章
第536章
表示zi=xi yi i=1, 2,,10 ,表示z1, z2, , z10。样本均值是z,样本方差是s2。
(1)求z,s2;
(2)判断经工艺A处理的橡胶制品的膨胀率是否显着高于经工艺B处理的橡胶制品的膨胀率(如果
s2
10
z 2
,则认为经过工序A后的橡胶制品的发泡率相比经过工序B后的橡胶制品的发泡率有明显提高,否则
这不被认为是一个显着的改进)
【答案】(1)z=11,s2=61;
(2)认为经工艺A处理的橡胶制品的发泡率明显高于经工艺B处理的橡胶制品。
【分析】
【分析】(1)可以直接用平均公式计算x、y,然后得到所有zi值,最后计算方差;
(2)根据公式计算2的值并与z进行比较。
【问题1详细解释】
s2
10
x=545 + 533 + 551 + 522 + 575 + 544 + 541 + 568 + 596 + 548=552.3,
10
y=536 + 527 + 543 + 530 + 560 + 533 + 522 + 550 + 576 + 536=541.3 ,
10
z=x – y=552.3 – 541.3=11 ,
zi=xi – yi
值分别为: 9、6,8、-8、15、11、19、18、20,12。
2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-18) 11)2 + ( 20-11)2 + (12-11)2=
61
因此
10
【问题2详细解释】
从(1)我们知道: z=11, 2=2=,所以我们有z 2 ,
s2
10
6.1
24.4
s2
10
因此,认为经工艺A处理的橡胶制品的发泡率明显高于经工艺B处理的橡胶制品。
令Sn 为算术数列an 的前n 项之和。已知a2=11,S10=40。求出an的通式;求序列an 的前n 项和Tn。 【答案】(1) an=15 – 2n
14n n2 , n 7
(2) Tn=n2 – 14n + 98, n 8
【分析】
【分析】(1)根据题方程求解a1和d,即可得到结果;
(2)先求Sn,讨论an的符号去掉绝对值,结合Sn运算求解。
【问题1详细解释】
设等差数列的公差为d,
a2 a1 d 11
a1
d 11
a1
13
由题意可得S
10a
10 9 d 40 ,即2a
9d 8 ,解得d 2 ,
10 1 2 1
所以 an 13 2 n 1 15 2n ,
【小问 2 详解】
n 13 15 2n 2
因为 Sn
14n n ,
2
令 an
15 2n 0 ,解得 n 15 ,且 n N* ,
2
当 n 7 时,则 a 0 ,可得T a a a a a a S
14n n2 ;
n n 1 2 n 1 2 n n
当 n 8 时,则 an 0 ,可得Tn a1 a2 an
a1 a2 a7 a8 an
S S S 2S S 214 7 72 14n n2 n2 14n 98 ;
7 n 7 7 n
14n n2 , n 7
综上所述: Tn n2 14n 98, n 8 .
如图,在三棱锥 P ABC 中, AB BC , AB 2 , BC 2 2 , PB PC , BP, AP, BC 的中点分别为 D, E, O ,点 F 在 AC 上, BF AO .
6
求证: EF //平面 ADO ;若POF 120 ,求三棱锥 P ABC 的体积.【答案】(1)证明见解析
(2)
2 6
3
【解析】
【分析】(1)根据给定条件,证明四边形ODEF 为平行四边形,再利用线面平行的判定推理作答.
(2)作出并证明 PM 为棱锥的高,利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【小问 1 详解】
连接 DE, OF
,设 AF tAC ,则 BF BA AF (1 t)BA t BC , AO BA
1
BC , BF AO ,
2
则 BF AO [(1 t)BA t BC](BA
1 2
BC) (t 1)BA
1
t BC2 4(t 1) 4t 0 ,
2 2
解得t 1 ,则 F 为 AC 的中点,由 D, E, O, F 分别为 PB, PA, BC, AC 的中点,
2
于是 DE / / AB, DE 1 AB, OF / / AB, OF 1 AB ,即 DE / /OF , DE OF ,
2 2
则四边形ODEF 为平行四边形,
EF / / DO, EF DO ,又 EF 平面 ADO, DO 平面 ADO ,所以 EF / / 平面 ADO .
【小问 2 详解】
过 P 作 PM 垂直 FO 的延长线交于点 M ,
因为 PB PC, O 是 BC 中点,所以 PO BC ,
在Rt△PBO 中, PB
6, BO 1 BC ,
2
2
所以 PO 2 ,
PB 2 OB 2
6 2
因为 AB BC, OF / / AB ,
所以OF BC ,又 PO OF O , PO, OF 平面 POF ,所以 BC 平面 POF ,又 PM 平面 POF ,
所以 BC PM ,又 BC FM O , BC, FM 平面 ABC ,
所以 PM 平面 ABC ,
即三棱锥 P ABC 的高为 PM ,
因为POF 120 ,所以POM 60 ,
所以 PM PO sin 60 2
3 ,
2
3
2
又 S△ ABC
1 AB BC 1 2 2
2 2
2
2 ,
所以V
1 S PM 1 2 2 2 6 .
P ABC
3
3 △ ABC 3 3
已知函数 f x 1 a ln1 x . x
当a 1 时,求曲线 y f x 在点1, f x 处的切线方程.若函数 f x 在0, 单调递增,求a 的取值范围.【答案】(1) ln 2 x y ln 2 0 ;
(2) a | a 1 .
2
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式,然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标,最后求解切线方程即可;
(2)原问题即 f x 0 在区间0, 上恒成立,整理变形可得 g x ax2 x x 1ln x 1 0 在
区间0, 上恒成立,然后分类讨论 a 0, a 1 , 0 a 1 三种情况即可求得实数a 的取值范围.
2 2
【小问 1 详解】
当a 1时, f x 1 1ln x 1 x 1 ,
x
则 f x 1 ln x 1 1 1 1 ,
x2 x x 1
据此可得 f 1 0, f 1 ln 2 ,
所以函数在1, f 1 处的切线方程为 y 0 ln 2 x 1 ,即ln 2 x y ln 2 0 .
【小问 2 详解】
由函数的解析式可得 f x = 1 ln x 1 1 a
1 x 1 ,
x2 x
x 1
满足题意时 f x 0 在区间0, 上恒成立.
令 1 ln x 1 1 a 1 0 ,则 x 1 ln x 1 x ax2 0 ,
x2 x
x 1
令 g x = ax2 x x 1ln x 1 ,原问题等价于 g x 0 在区间0, 上恒成立,则 g x 2ax ln x 1 ,
当 a 0 时,由于 2ax 0, ln x 1 0 ,故 gx 0 , g x 在区间0, 上单调递减,
此时 g x g 0 0 ,不合题意;
令 h x g x 2ax ln x 1 ,则h x 2a
1
,
x 1
当 a 1 , 2a 1时,由于 1 1 ,所以h x 0, h x在区间0, 上单调递增,
2 x 1
即 g x 在区间0, 上单调递增,
所以 g x > g0 0 , g x 在区间0, 上单调递增, g x g 0 0 ,满足题意.
当0 a 1 时,由 h x 2a
2
1
x 1
0 可得 x =
1 1 ,
2a
当 x 0, 1 1 时, h x 0, h x 在区间 0, 1 1上单调递减,即 g x 单调递减,
2a 2a
注意到 g0 0 ,故当 x 0, 1
2a
1 时, g x g0 0 , g x 单调递减,
由于 g 0 0 ,故当 x 0, 1
2a
1 时, g x g 0 0 ,不合题意.
综上可知:实数a 得取值范围是a | a 1 .
2
【点睛】方法点睛:
求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率,求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导,合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间a, b 上单调,实际上就是在该区间上 f x 0 (或 f x 0 )恒成立.
②函数在区间a, b 上存在单调区间,实际上就是 f x 0 (或 f x 0 )在该区间上存在解集.
已知椭圆y2 x2
的离心率是,点 A2, 0 在 上.
a2 b2 3
5
C : 1(a
b
0)
C
求C 的方程;过点2,3 的直线交C 于 P, Q 两点,直线 AP, AQ 与 y 轴的交点分别为 M , N ,证明:线段 MN 的中点为定点.2
2
【答案】(1) y x
1
9 4
(2)证明见详解
【解析】
【分析】(1)根据题意列式求解 a, b, c ,进而可得结果;
(2)设直线 PQ 的方程,进而可求点 M , N 的坐标,结合韦达定理验证 yM yN
2
为定值即可.
【小问 1 详解】
b 2
a 3
由题意可得 a2 b2 c2 ,解得b 2 ,
c c
5
5
e
a
所以椭圆方程为 y
2
3
x2
1.
9 4
【小问 2 详解】
由题意可知:直线 PQ 的斜率存在,设 PQ : y k x 2 3, P x1, y1 ,Q x2, y2 ,
y k x 2 3
联立方程 y
2 x2
,消去y 得:4k 2 9 x2 8k 2k 3 x 16k 2 3k 0 ,
9 4
1
则Δ 64k 2 2k 32 644k 2 9k 2 3k 1728k 0 ,解得 k 0 ,
可得 x1 x2
8k 2k 3
4k 2 9
, x1x2
16 k 2 3k
4k 2 9
,
因为 A2, 0 ,则直线 AP : y
y1 x1 2
x 2 ,
y 2y1
2 y1
令 x 0 ,解得 x 2 ,即 M 0, x
2 ,
1
2 y2
1
同理可得 N 0, x
2 ,
2 y1
2
2 y2
则 x1 2
x2 2 k x1 2 3 k x2 2 3
2 x1 2 x2 2
kx1 2k 3 x2 2 kx2 2k 3 x1 2 2kx1x2 4k 3x1 x2 4 2k 3
32k k 2 3k
4k 2 9
x1 2 x2 2
8k 4k 32k 3
4k 2 9
4 2k 3 108
x1x2 2 x1 x2 4
16 k 2 3k
4k 2 9
3 ,
16k 2k 3 4 36
4k 2 9
所以线段 PQ 的中点是定点0, 3 .
【点睛】方法点睛:求解定值问题的三个步骤
由特例得出一个值,此值一般就是定值;证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值;
得出结论.
【选修 4-4】(10 分)
在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1 的极坐标方程为 2sin ,曲线C : x 2 cos 为参数, ).
2 (
4 2
y 2 sin 2
写出C1 的直角坐标方程;若直线 y x m 既与C1 没有公共点,也与C2 没有公共点,求m 的取值范围.【答案】(1) x2 y 12 1, x 0,1, y 1, 2
(2) , 0 2 2,
【解析】
【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解,注意 x, y 的取值范围;
(2)根据曲线C1 , C2 的方程,结合图形通过平移直线 y x m 分析相应的临界位置,结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【小问 1 详解】
因为 2 sin,即2 2sin,可得 x2 y2 2 y ,
整理得 x2 y 12 1,表示以0,1 为圆心,半径为 1 的圆,
又因为 x cos 2 sincos sin 2, y sin 2 sin 2 1 cos 2 , 且 π π ,则 π 2 π ,则 x sin 20,1, y 1 cos 21, 2 ,
4 2 2
故C1
: x2 y 12 1, x 0,1, y 1, 2.
【小问 2 详解】
因为C2
: x 2 cos
y (2 sin
为参数, π π ), 2
整理得 x2 y2 4 ,表示圆心为O 0, 0 ,半径为 2,且位于第二象限的圆弧,如图所示,若直线 y x m 过1,1 ,则1 1 m ,解得 m 0 ;
2
m
2
若直线 y x m ,即 x y m 0 与C 相切,则
,解得 m 2 ,
2
若直线 y x m 与C1 , C2 均没有公共点,则 m 2
即实数 m 的取值范围, 0 2 2, .
m 0
或 m 0 ,
2
【选修 4-5】(10 分)
已知 f x 2 x x 2求不等式 f x 6 x 的解集;在直角坐标系 xOy 中,求不等式组 f x yx y 6 0
所确定的平面区域的面积.
【答案】(1) [2, 2] ;
(2)6.
【解析】
【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.
(2)作出不等式组表示的平面区域,再求出面积作答.
【小问 1 详解】
3x 2, x 2
依题意, f (x) x 2, 0 x 2 ,
3x 2, x 0
不等式 f (x) 6 x 化为: x 2
3x 2 6 x
0 x 2
或x 2 6 x
x 0
或3x 2 6 x ,
x 2
2
解
3x 2 6 x
2 x 2 ,
0 x 2
,得无解;解x 2 6 x
x 0
,得0 x 2 ,解3x 2 6 x
,得2 x 0 ,因此
所以原不等式的解集为:[2, 2]
【小问 2 详解】
f (x) y
作出不等式组x y 6 0 表示的平面区域,如图中阴影ABC ,
由 y 3x 2 ,解得 A(2, 8) ,由 y x 2 , 解得C(2, 4) ,又 B(0, 2), D(0, 6) ,
x y 6 x y 6
所以ABC 的面积 S 1 | BD | x x 1 | 6 2 | | 2 (2) | 8 .
用户评论
面瘫脸
今年数学乙卷难度有点大啊!特别是那道几何题,感觉很多同学都卡住了。
有16位网友表示赞同!
凉凉凉”凉但是人心
复习了一圈算法题,没想到这次考试里完全没用到。
有5位网友表示赞同!
炙年
还好我基础比较扎实,一些常规题还好应付得了。
有10位网友表示赞同!
醉婉笙歌
乙卷的数学真考到了重点啊!我的教材都跟着这套题了练过的内容,感觉还好。
有14位网友表示赞同!
来自火星的我
这次考试数学时间有点紧迫,感觉很多问题都没来得及仔细做。
有5位网友表示赞同!
夏以乔木
概率和统计那个大题让我一头雾水…
有18位网友表示赞同!
数据分析题太难了吧!真没想到考这种难度
有17位网友表示赞同!
把孤独喂饱
还好我提前预习了,这次考试总算没让我太担心。
有15位网友表示赞同!
安好如初
数学乙卷真的考验逻辑思维能力厉害的同学能答上来很多
有19位网友表示赞同!
煮酒
感觉今年全国统一考试,各个科目的难度都提升了一档!
有8位网友表示赞同!
莫名的青春
这次数学题真考得我晕头转向!好久没这么迷茫了…
有7位网友表示赞同!
百合的盛世恋
希望我的分数能过线!
有16位网友表示赞同!
余温散尽ぺ
乙卷数学的难题也太难了吧…
有9位网友表示赞同!
凉月流沐@
感觉今年普通高中招生考试难度还是挺高的呢!
有15位网友表示赞同!
非想
终于结束了!考完试的心情是各种复杂!
有10位网友表示赞同!
各自安好ぃ
我的同学说,这次数学比A卷还难…
有15位网友表示赞同!
寒山远黛
希望所有考生都能取得理想的成绩!
有12位网友表示赞同!
秘密
这几天都在复习数学,累死了!
有19位网友表示赞同!