比如下面这道序列题，原本是评分题，但很多考生都答不出来。这道数列解题是今年高考A卷理科数学第17题，也是高考A卷文科数学第18题。从出题位置不难看出，这是一道基础题，考察的是通过递归求数列通项公式以及求数列前n项之和的最大值的问题算术序列。

第一题考察求序列通项的递归方法，给出的递归关系可以看成Sn=f(an)的形式。遇到这种形式求通项式的时候，思路很简单，那就是只保留Sn和an中的一个，通过某种手段消去另一个。

具体地，如果保留an，则由Sn=f(an)得到S(n+1)=f(a(n+1))，然后将两个方程相减以消除Sn。如果留下Sn，则Sn=f(an)导致Sn=f(Sn-S(n-1))，从而消除an。

本题先去掉递归关系的分母，得到2Sn+n^2=2nan+n，所以2S(n+1)+(n+1)^2=2(n+1)a(n+ 1 )+n+1，将两个表达式相减，排序后得到：a(n+1)-an=1，即该数列是以1为容差的算术数列，结论得证。

很多考生不知道如何处理题干中的递归关系，导致第一题无法证明。其实递归关系Sn=f(an)是近年来高考中的热门考点，大家一定要重点关注。

继续往下看，如果想要Sn的最小值，那么就需要求an的通式。由(1)可知an是以1为公差的等差数列，故a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，a4、a7、a9组成等差数列，所以有(a1+6)^2=(a1+3)(a1+8)，解为a1=-12。

接下来，可以表达Sn。排序后，得到Sn=n^2/2-25n^2/2。这是一个关于n 且开口向上的二次函数。对称轴n=25/2，因为n是正整数。所以当n=12或n=13时，Sn取得最小值，最小值为-78。

当然，如果要求Sn的最小值，也可以从an开始求解。根据前面的解题过程，我们可以得到an=n-13，所以是一个递增序列。由于当n=13时，a13=0，所以第1项到第12项都是负数，第13项为0，所以Sn的最小值为S12或S13，然后可以通过求和计算公式。