它反映了闭区间上可微函数的总体平均变化率与区间内某一点的局部变化率之间的关系。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，也是柯西中值定理的特例。它是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

拉格朗日均值定理是微分均值定理的核心。其他均值定理是拉格朗日均值定理的特例和扩展。它是微分学应用之间的桥梁，具有极高的理论和实践价值。研究价值。

一、拉格朗日中值定理的概念和几何意义

2、几何意义：

曲线y=f(x) 上至少有一个点C1 (xi1, f(xi1)) 满足定理条件。此时曲线的切线与连接曲线两端的线AB平行（如图）

二、拉格朗日中值定理的应用

1、为什么要用拉格朗日中值定理解决高考数学题？

近年来，以高等数学为基础的高考题成为热门话题。也就是说，目前的高考数学试题中，有的省份或者有的试题中含有高等数学（大学数学）的成分。这些问题虽然利用中学数学知识就可以解决，但往往相当繁琐，很容易导致无法继续证明的尴尬局面。

这时候，如果我们提前知道一些高等数学（大学数学）的相关知识，那么解决问题的过程就会相对简单。因为这些高考题本身就带有与高等数学相关的“影子”，而高等数学的一些知识点在应用到高考题时一般只应用到一些比较简单的部分，所以此时，高等数学的知识是用来解决高考题的。最后的问题就变得简单了。

2. 哪些类型的数学问题专门用于求解拉格朗日定理？

一般来说，用于解决高考题中的函数题、导数题、不等式证明题、常成立题、参数范围题等。

三、和拉格朗日定理有关的题目案例分析

【1】直接应用拉格朗日中值定理来解题

例2. 在填空多项选择题中，可以利用拉格朗日中值定理快速解决问题。

【2】求割线斜率大小—-几何意义的利用

从拉格朗日中位数的几何意义可知，曲线上两点割线的斜率可以转化为曲线上切线的斜率。也就是说，连接连续函数上任意两点的线始终平行于切线。

点评：如果用初等方法解决这个问题，构造函数将是这个问题的难点和突破点。

【3】 利用拉格朗日中值定理证明函数的最值、参数范围

(1) 此时需要证明的函数表达式如下：

例1：（2009年辽宁试卷第21题）

例4：求解常数成立条件下的参数范围。

“拉格朗日中值定理”包含了“消除”的思想，巧妙地将两个变量的问题转化为一个变量的问题。这种“减少变量、提高效率”的思想贯穿于数学的发展之中，也是我们数学正在做的事情。解决问题需要坚持的思想。

实施例5.

实施例6.

抓住题目给出的条件、结论和结构，通过联想、类比、建构，将复杂的问题转化为熟悉的问题的解题方法称为“建构法”。用“建构法”解决问题是创造性思维的标志。一个重要的体现是，通过建构，可以建立各种数学知识之间的联系和相互转化，让学生掌握定义和定理的不同表达方式，提高解决问题的能力。

【4】利用拉格朗日中值定理证不等式

近年来的数学高考中，含有拉格朗日中值定理的试题不少。常以不等式恒成立的问题作为基本出发点，具有一定的深度。既符合高考命题“能力观”的宗旨，又凸显了数学的学科特色，更好地认定了学生的数学能力。下面以近年来全国各地的数学高考题为例，说明不同形式的拉格朗日中值定理在不等式中在高考中的应用，以便更好地理解使用“先进数学”的优势。数学”知识解决问题。

使用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：

具体案例如下：

点评：本题用初等数学的方法证明，篇幅比较长，技术性很强。因此，这个想法比较唐突，大多数考生往往很难想到。相比之下，使用拉格朗日中值定理的证明更加自然。流利。它体现了从高角度解决问题的优越性，说明了学习高等数学的重要性。

例3：（2006年四川卷第22题）

例4. 使用拉格朗日定理证明经典不等式

实施例5.

实施例6.

实施例7.

实施例8.

【5】利用拉格朗日定理证明根的存在性

为了证明方程根的存在性，给定根的范围是区间[a,b]。如果将给定方程设为函数f(x)，则可以利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性。一般采用反证法。